00.01 LA LÓGICA SIMBÓLICA O MATEMÁTICA.

La lógica simbólica o matemática.

Lógica viene del término griego "λογική" (logiké) el cual puede traducirse por Razón, aunque tiene multiples acepciones, sobre todo en la filosofía griega, éste se deriva del término "λόγος" (logos). Entre las multiples acepciones de la palabra, la más recurrida en castellano es: razón; pero Heráclito habla de un logos que es el principio ordenador del cosmos. San Juan, al comienzo de su evangelio dice: En el pricipio era el Verbo (traducción del términp griego "λόγος" (logos) ) y el Verbo estaba en Dios y el Verbo era Dios; de tal manera su significado, a parte del de Dios, es tambien la palabra (del latin "verbum").

Modernamente, logos, se refiera más a la razón que a cualquier otra acepción de la palabra; pero está cada vez más relacionado con la Lógica simbólica que es una "construcción" matemática derivada de la Lógica  aristotélica. 

  

La Lógica Simbólica es un sistema ordenado de símbolos que proceden, mediante reglas y leyes, "ad hoc", a determinar ciertas operaciones primarias de la razón humana. Las reglas y las leyes son enteramente racionales y se justifican por una serie de razonamientos que son válidos y universales (axiomas); siendo demostrados mediante argumentos de razón suficiente.

00.02 TÍTULO Y RESUMEN.

POSIBILIDADES DE INTERDEFINICIÓN EN UNA LÓGICA BIVALENTE MEDIANTE NEGACIONES.

RESUMEN

        

La lógica bivalente tiene como sustrato la adecuación o no de una proposición con la realidad. Es decir, la verdad o la falsedad de un hecho con la mente que lo interpreta. Pero dado que las proposiciones son formas de la mente humana que tratan de expresar lo que perciben de la mejor manera posible, en cada uno de los seres humanos, dicha adecuación, está lastrada por la interpretación que cada palabra tenga en la mente de quien la capta. Ósea, hay una “divergencia psicológica” que la mayoría de las veces no altera el significa de las palabras pero que suele causar “alteraciones” en la interpretación de su sentido real. De aquí que la situación de la lógica aristotélica, se preste a numerosas interpretaciones en la acepción de sentido real de las palabras que componen los silogismos aristotélicos. Para obviar o más bien “penetrar” en el sentido de la lógica humana se prescinde de la palabra, buscando solamente la relación formal entre los elementos que forman el juicio; pero siempre partiendo de las palabras y sus relaciones. Se forman así, estructuras formales que corresponden principalmente a la manera de procesar el lenguaje que tiene la mente y no a su real y total correspondencia con la realidad del mundo sensible. De acuerdo a esto, un hecho proposicional sólo puede tener 2 y solamente 2 posibilidades, en momento de presente. Es decir, en un instante dado, sin el transcurrir del tiempo, las proposiciones (juicios lógicos) sólo pueden ser adecuadas o no a la realidad que tratan de interpretar. Otra cosa es si introducimos el factor tiempo al analizar una estructura formal de la proposición, en ello las posibilidades variarán de acuerdo al transcurrir y los hechos cambiantes que se sucedan. De aquí nacen las lógicas trivalentes, modales, polivalentes y varias interpretaciones todavía no muy desarrolladas o descubiertas. Ahora bien, cuando se relacionan dos hechos entre si, en una lógica formal bivalente en presente, las posibilidades formales son 4 y solamente 4; pero, si relacionamos entre sí, 3 hechos en presente en una lógica formal bivalente, las posibilidades aumentan a 8 y así sucesivamente. Nuevamente, al estar en un sistema formal bivalente, la relación entre las proposiciones, será siempre de dos en dos y solamente de dos en dos. Esto hace que las posibilidades de interacción en una lógica bivalente, sean de 4 posibilidades y solamente 4; dado que las posibilidades se repiten.

Ahora bien, las relaciones entre proposiciones, están representadas por lo que llamamos conectivos que no son otra cosa que las posibilidades de resultado en una lógica bivalente (4 en total por cada una de las 16 formas posibles, esto se verá más adelante).   A la vez, cuando una columna de resultados o un conectivo es negado, se invierte su orden y puede ser igual, su resultado, al de otro conectivo. En éste último caso se dice que ambos conectivos son equivalentes.

Sobre estas equivalencias obtenidas mediante negaciones y generalizadas, trata este trabajo.

00.03 ANÁLISIS DE POSIBILIDADES VERITATIVAS EN UNA LÓGICA BIVALENTE

ANÁLISIS DE POSIBILIDADES VERITATIVAS EN UNA LÓGICA BIVALENTE

Las posibilidades reales en una lógica bivalente, son cuatro (4) y sólo cuatro, dado que se relacionan de manera binaria. Tomemos un ejemplo basado en un hecho real:

En una carrera del hipódromo compiten 2 caballos: A y B. En tiempo real al partir, antes de llegar a la meta, se pueden calcular cuatro (4) posibilidades:

 

Ahora bien, si ganar le denominamos “1” y perder “0”, entonces podemos simbolizarlo así:

 

Lo que daría la siguiente tabla aleatoria:

¿Habría alguna posibilidad más? No habría ninguna otra. Luego las posibilidades son cuatro y sólo cuatro (4).

 Pero veamos que pasa si hay 3 caballos en la carrera: A; B; C.

 Luego quedaría:

Ahora bien para evitar tener que pensar sobre las posibilidades basta ordenar de manera sencilla la colocación de los dígitos 1 y 0. 

Veamos, a la A se le atribuyen los dos dígitos de manera alterna, a B de manera alterna pero de dos en dos, a C de manera alterna pero de cuatro en cuatro. Es decir:

 

Como se puede observar se encuentran las mismas posibilidades pero sin tener que pensarlas.

Ahora bien, como es una lógica bivalente y en este caso se trabaja con tres posibilidades se establece que sólo pueden relacionarse de dos en dos columnas. Veamos:

                 

             

Como se puede ver no hay ninguna expresión binaria que no sea alguna de las cuatro establecidas para la lógica bivalente:

 

==============================

00.04 PROFUNDIZANDO EN EL TEMA DE LAS POSIBILIDADES.

Profundizando en el tema de las posibilidades

Pero si profundizamos en las formas de colocación de las dos columnas, en cuanto a la posibilidad de lugar de los “1” o de los “0” sucede lo siguiente:

Tomemos como condición que el “1” esté siempre en el primer lugar; sólo hay tres (3) columnas, a saber:

 

Si el “0” esta siempre en el primer lugar. Ósea lo anterior negado:

 

Si decidimos cambiar o añadir un “1” por un “0”, o viceversa:

Entonces no nos daría todas las posibilidades reales, pues se repetirían algunas de ellas.

Luego podemos afirmar que son tres (3) y sólo tres (3) pares de columnas quienes nos permiten obtener las cuatro (4) posibilidades en un hecho bivalente.

Estas son, repito:    

11 /  01 / 10 / 00

Comprobémoslo:

 

En los tres (3) modelos están las cuatro (4) posibilidades pero su orden es diferente; y no hay otra forma de colocarlas sino es con negación; es decir poniendo el “0” en la primera fila. Pero la negación puede darse en cada una de las partes por separado, a las dos partes (columnas) a la vez o también a la totalidad de la expresión, con sus partes negadas o no; ósea: individualmente, todas o ninguna. Tambien poniendo la primera columna en la segunda parte y viceversa, lo que sería inversión. O bien cambiando las proposiciones (letras) la de la derecha a la izquierda o al revés, sin variar las columnas. Luego, los elementos de diferenciación en el orden de las columnas, serían el cambio, la negación y la inversión. (Ver tablas más adelante).

00.05 LA INTERACCIÓN Y SUS POSIBILIDADES EN UNA LÓGICA BIVALENTE.

La interacción y sus posibilidades en una lógica bivalente

La interacción es la relación de dos unidades de verdaderos o falsos entre si en unas proposiciones.

La posibilidad  numérica de una columna bivalente de cuatro formas en su relación (conectivos), son las siguientes y no hay otras. A saber:

 Matemáticamente hablando serían: cuatro (4) los lugares, dos (2) las opciones, luego:  

  

Tenemos varios hechos curiosos:

1) La bivalencia implica dos (2) factores: 1 y 0 (V ó F); pero la posibilidad de relación, entre estos dos factores, es cuádruple:       

     

1    1

0     1

1     0

0    0

Ósea, la relación está sustentada por cuatro (4) y sólo cuatro (4) posibles formas de interacción entre los seres u objetos que se relacionan; siempre y cuando haya dos (2) y sólo dos (2) posibilidades (bivalencia) para cada una de ellas. Por ejemplo: La carrera de caballos “ganar” (1) “perder” (0).

2)  Las cuatro (4) posibles formas de interacción se pueden  obtener a partir de tres (3) columnas; producto de colocar los dígitos (1, 0) de tal manera que siempre estén las cuatro (4) posibilidades mencionadas y no se repita el orden de las columnas.

3) La negación de estas columnas originan tres columnas inversas que comienzan con cero (0).

4) Al relacionar columnas positivas y negativas se obtienen cuarenta y ocho (48) modos o formas posibles de interacción. Pero sólo dieciséis (16) posibilidades de resultado.

5) Si los resultados se niegan, las posibilidades de los cuadros aumentan a noventa y seis (96).

6) Cuando de dos conectivos se obtiene el mismo resultado en diferentes formas de columnas, se dice que ambas expresiones son equivalentes.

7) En este trabajo trataremos de mostrar las equivalencias en las noventa y seis (96) posibilidades de orden de las columnas, para cada uno de los conectivos  y sus consecuencias lógicas.

Se colocaron en el blog dos “link” que lleva a las tablas de control de todas las posibilidades de interacción. Dichas tablas pueden ser operadas por aquellas personas que así lo necesiten o deseen. Dichos "link", donde se puede hacer "clik", están situados al final de la entrada 00.06: TABLAS DE CUADROS. Ambos son iguales, pero comprimiddos en: "ZIP" el primero y en "RAR" el segundo.

00.06 TABLAS DE CUADROS.

TABLAS DE POSIBILIDADES DE EQUIVALENCIAS

Las posibilidades de interacción entre las columnas, cambiando, invirtiendo y negando, son 96 y no hay más. Se puede alterar su orden y los “cuadros” resultantes pueden colocarse en diversos órdenes, pero siempre serán los mismos valores (1 y 0) alternados de manera ordenada.  Veamos:

Tomemos el orden que llamamos “α”:

Añadiendo negaciones (-), cambio e inversión, daría: (ver Cuadro α)

Si tomamos el orden que llamamos “β”:

 

Añadiendo negaciones (-), cambio e inversión, daría: (ver cuadro β)

Si tomamos el orden que llamamos “γ”:

 

Añadiendo negaciones (-), cambio e inversión, daría: (ver cuadro γ)

Los colores en los cuadros, determinan el cambio (color sepia oscuro), la inversión  (color negro)y el cambio en inversión (color sepia claro). La inversión comienza en la mitad de cada cuadro separada por una línea azul.

Estos cuadros muestran todas las posibilidades pero, evidentemente, su valor lógico ( 1 y 0 ) se repite en algunos casos; por ejemplo: los cuadros 80 y 87, pero su valor "semántico" es diferente. El cuadro 80 es "C A" pero el 87 es "-(A C)".

El siguiente link es un archivo de excel con macros que muestra todos las posibles relaciones:
Todas las posibilidades mostradas en hoja de excel Comprimido en formato ZIP
Todas las posibilidades mostradas en hoja de excel Comprimido en formato RAR